一种基于b样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法

一种基于b样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，该方法为根据B样条曲线构造复杂曲线的自由性和灵活性，利用B样条构造内啮合齿轮啮合线；根据齿轮啮合原理，构造满足该啮合线的内啮合内外齿轮共轭齿廓曲线并对其啮合性能进行分析；以啮合线的光顺度和共轭齿廓啮合性能为目标，进行共轭齿廓的优化设计；构造齿廓曲线到齿根圆的齿根过渡圆弧曲线并完内啮合齿轮整齿设计。该方法设计的啮合线构造共轭齿廓之前就可求解所构造共轭齿廓的啮合性能。该方法利用B样条构造啮合线，通过改变控制顶点的位置坐标可方便的调整啮合线的形状，因此该方法在内啮合齿轮共轭齿廓的几何形状设计及啮合性能设计上具有很大的自由性。
【专利说明】
-种基于B样条晒合线的内晒合齿轮齿形设计方法
技术领域
[0001 ]本发明属于传动齿轮设计技术领域，设及一种基于B样条晒合线的内晒合齿轮齿 形设计方法。
【背景技术】
[0002] 内晒合齿轮传动是一种重要的传动形式，它由内外齿轮组成，可传递同向的运动 和动力，与外晒合齿轮传动相比，结构更加紧凑，承载能力更强，可降低共辆齿廓曲线相对 滑动引起的动力损失，因此传动效率更高，在车辆传动、转臂关节、医疗机械等传动系统有 着广泛的应用。目前，内晒合齿轮的齿形主要为渐开线齿形，它具有加工制造容易，安装精 度敏感度低等优点，在工业上获得最大范围的应用，并形成了工业标准，摆线齿形作为另一 种传动齿形，在钟表、高精度减速器等方面也获得了广泛的应用。
[0003] 随着新型传动结构的出现及对内晒合齿轮传动性能要求的提高，对内晒合齿轮的 设计提出了更高的要求。传统的渐开线齿形及摆线齿形设计齿形固定，通过改变设计参数 改变齿轮的晒合性能，其适用范围受限于设计参数，为了满足不同机械结构对传动形式及 传动性能的要求，需要开发出一种适应不同传动性能和传动形式的内晒合齿轮设计方法。 "在齿轮传动过程中，随着接触点在晒合线上滑动时，在齿轮坐标系上划出的轨迹就是参与 晒合的齿轮齿廓曲线"，该研究提示我们:通过晒合线设计，可W构造出满足不同晒合性能 的传动齿轮共辆齿廓，运种齿廓的设计是自由的，共辆齿廓的几何形状及晒合性能决定于 晒合线的几何特性，而渐开线齿形和摆线齿形是运种设计方法的两种特例：当设计晒合线 为直线和圆弧时，构造的共辆齿廓齿形就为渐开线齿形和摆线齿形。同时随着高精度数控 加工技术的发展，也为运种自由齿形的加工制造提供了可能。

【发明内容】

[0004] 本发明针对渐开线内晒合齿轮设计中齿数、变位系数限制，重合度小等问题，提供 了一种基于B样条晒合线的内晒合齿轮齿形设计方法，该方法为根据B样条曲线构造复杂曲 线的自由性和灵活性，利用B样条构造内晒合齿轮晒合线;根据齿轮晒合原理，构造满足该 晒合线的内晒合内外齿轮共辆齿廓曲线并对其晒合性能进行分析；W晒合线的光顺度和共 辆齿廓晒合性能为目标，进行共辆齿廓的优化设计;构造齿廓曲线到齿根圆的齿根过渡圆 弧曲线并完内晒合齿轮整齿设计。该方法设计的晒合线不仅决定了内晒合齿轮共辆齿廓曲 线的几何形状，也决定了内晒合齿轮共辆齿廓的晒合性能，并且在构造共辆齿廓之前就可 求解所构造共辆齿廓的晒合性能。该方法利用B样条构造晒合线，通过改变控制顶点的位置 坐标可方便的调整晒合线的形状，因此该方法在内晒合齿轮共辆齿廓的几何形状设计及晒 合性能设计上具有很大的自由性。
[0005] 本发明采用的技术方案为:一种基于B样条晒合线的内晒合齿轮齿形设计方法，该 方法利用B样条曲线构造内晒合齿轮晒合线，根据齿轮晒合原理，建立关于晒合线与内晒合 齿轮共辆齿廓曲线之间对应关系式;构造满足B样条晒合线的共辆齿廓曲线;建立W曲线光 顺度、控制顶点扰动及共辆齿廓曲线相对法曲率、相对滑动率最优的目标函数，求解得到优 化后的B样条晒合线控制顶点坐标，重新构造内晒合齿轮共辆齿廓曲线;对设计的共辆齿廓 曲线进行干设检查，根据检查结果调整控制顶点；设计内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡 曲线，完成内外齿轮齿形的总体设计。鉴于B样条曲线的自由性和灵活性，通过B样条既可构 造渐开线齿形的直线晒合线和摆线齿形的圆弧晒合线，也可构造其他齿形的复杂晒合线， 从而使该方法对内晒合共辆齿廓曲线的构造具有很大的自由度。
[0006] 该方法具体步骤如下：
[0007] 步骤一、设计内晒合齿轮晒合线，根据B样条曲线的生成原理，W给定的晒合线上 的点为控制顶点，构造 WS次非均匀B样条表示的内晒合齿轮晒合线；
[0008] 步骤二、根据共辆原理，建立内晒合齿轮传动的共辆方程，该方程反应了晒合线上 的点与内晒合齿轮共辆齿廓曲线上共辆点之间的对应关系;在求解共辆齿廓曲线之前，根 据齿轮晒合理论，分析满足设计B样条晒合线的共辆齿廓曲线的晒合性质，包括相对法曲率 和相对滑动率；
[0009] 步骤=、根据晒合线与共辆齿廓曲线的对应关系式，带入B样条晒合线的分段多项 式，通过坐标变换和计算，得到满足设计B样条晒合线的内晒合齿轮共辆齿廓曲线上的齿形 点坐标；
[0010] 步骤四、W曲线光顺性、B样条曲线控制顶点扰动幅度、构造共辆齿廓曲线相对法 曲率、相对滑动率最优为目标建立优化函数，通过计算得到新的控制顶点坐标，重新进行内 晒合齿轮共辆齿廓曲线设计；
[0011] 步骤五、利用微分几何学检查内晒合齿轮共辆齿廓曲线上是否存在奇异点，进行 工作齿廓根切检查;检查内晒合齿廓共辆齿廓晒合过程是否发生齿顶干设及径向干设，确 定干设点发生的位置，通过调整对应的B样条曲线控制顶点消除内晒合齿轮干设情况；
[0012] 步骤六、构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧曲线，完成内晒合共辆齿轮 整体设计。
[0013] 本发明与现有技术相比的优点在于：
[0014] 本发明所提出的是一种自由的内晒合齿轮齿形构造方法，突出的特点是利用B样 条构造内晒合齿轮的晒合线，根据齿轮晒合原理构造满足在该晒合线参与晒合的内外齿轮 共辆齿廓曲线，并W晒合性能最优和晒合线光顺性进行了齿形优化。受益于B样条曲线的自 由性和灵活性，该方法在内晒合齿轮设计方面具有很大的自由，根据本发明不仅能够设计 出渐开线齿形和摆线齿形，也可根据齿形的性能需求设计其他齿形。随着高精度数控加工 技术的发展，为本发明所设计的内晒合齿轮的加工制造提供了可能。
【附图说明】
[0015] 图1为本发明一种新型大重合度内晒合齿轮齿形设计方法流程图；
[0016] 图2为内晒合齿轮晒合线；
[0017] 图3为内晒合齿轮坐标系和固定坐标系；
[0018] 图4为齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧构造示意图，其中，圆Oo为与齿根齿廓r f和齿 廓圆相切的圆，To、Tf分别为切点，t为在To处的切向；
[0019] 图5为立次非均匀B样条晒合线及共辆齿廓曲线，其中，图5(a)为初始控审顺点构 造的=次非均匀B样条晒合线及共辆齿廓曲线；图5(b)优化后控制顶点构造的=次非均匀B 样条晒合线及共辆齿廓曲线；
[0020] 图6为优化前后共辆齿廓曲线相对法曲率曲线；
[0021] 图7为优化前后共辆齿廓曲线相对滑动率曲线；
[0022] 图8为内外齿轮单齿齿形，其中，1-外齿轮齿廓曲线，2-外齿轮齿根齿廓到齿根 圆过渡圆弧曲线，3-内齿轮齿廓曲线，4-内齿轮齿根齿廓到齿根圆过渡圆弧曲线；
[0023] 图9为内外齿轮整体齿形。
【具体实施方式】
[0024] 下面结合附图对本发明方法的实施方式做详细说明。
[0025] 本发明一种基于圆弧晒合线的大重合度内晒合齿轮齿形设计方法的流程图如图1 所示，包括（1)利用非均匀B样条构造内晒合齿轮晒合线；（2)满足B样条晒合线的共辆齿轮 齿廓曲线与晒合线的对应关系建立及其晒合性质分析；（3)构造满足=次非均匀B样条晒合 线的内晒合齿轮共辆齿廓曲线；（4) W齿廓曲线光顺性要求及共辆齿轮晒合性能最优建立 目标函数，对非均匀B样条晒合线进行优化；（5)内晒合齿轮共辆齿廓曲线的干设检查；（6) 构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线，完成内晒合共辆齿轮整体设计。
[00%]该方法具体步骤如下：
[0027] 步骤一、利用非均匀B样条构造内晒合齿轮晒合线。
[0028] 在齿轮传动过程中，随着接触点在晒合线上滑动时，在齿轮坐标系上划出的轨迹 就是参与晒合的齿轮齿廓曲线。内晒合齿轮的晒合线为两条，分别对应着内齿轮和外齿轮 的左右齿廓，一般而言，两条晒合线是对称的。内晒合齿轮的晒合线分布在内齿轮和外齿轮 齿顶圆之间，如图2所示，齿轮1和齿轮2是一对内晒合齿轮，齿轮1为外齿轮，齿轮2为内齿 轮，设^和12为晒合线的两段，Li位于第二象限，L2位于第四象限，为保证晒合线过原点且在 原点连续，分段晒合线^和12相交于原点，且在原点相切。
[0029] 对于渐开线内晒合齿轮，其晒合线。和1^2为两条线段，相交于节点化，且与X轴的夹 角为压力角曰，它们的端点分别为与内齿轮及中屯、轮齿顶圆的交点，对于摆线齿内晒合齿 轮，其晒合线。和12为两段相切圆弧，相切与节点化，其中b是齿轮1右齿廓齿根与齿轮2左 齿廓齿顶的晒合线，L2为齿轮1右齿廓齿顶与齿轮2左齿廓齿根的晒合线;对于一般情况，内 晒合齿轮齿形不仅限于渐开线齿形和摆线齿形，只要满足共辆条件且不发生干设均可成为 内晒合齿轮齿形。B样条曲线具有灵活性和自由性，理论上，B样条曲线可W拟合和逼近任意 的几何形状，因此可W利用B样条构造内晒合齿轮晒合线，从而构造满足B样条晒合线的内 晒合齿轮齿形曲线。k次B样条曲线方程为：
[0030]
U)
[0031] P(U)为分段多项式，其中，dia = 〇，l，2,…，n)为控制顶点，Ni,k(u)a = 〇，l，2,…， n)为k次规范B样条基函数，简称B样条，它是由节点矢量U=[u日，山，???，Un+k+l]:u日《m《…《 Un+k+l所决定的k次多项式。当节点矢量在可能范围内（两端节点重复度小于等于k+1，内节点 重复度小于等于k)任意选取，构造的B样条曲线为非均匀B样条曲线，确定节点矢量的方法 有里森费尔德方法和哈特利-贾德方法。
[0032] 当k = 3时，；次6样条曲线可W表示为：
[0033]
(2)
[0034] 其中，样条基函数Ni,3(u)(i = 0，l，2,…，n)为S次多项式，根据B样条基函数的定 义可W得到：
[0035] [Ni-3,3(u) Ni-2,3(u) Ni-l,3(U) Ni,3(u)] = [u3 u2 U l]Mi (3)
[0036] 其中，Ml是由多项式的系数矩阵，把式(3)带入式(2)得到=次B样条曲线又可W表 示为：
[00371
(4)
[003引对于非均匀立次6样条曲线，其在节点p(Ui)(i = k+l，5, . .，n)处为C2阶连续，在其 他内点为广阶连续，并且非均匀B样条曲线在首末端节点P(Uk)、P(Un+l)分别与控制多边形 首末边相切。
[0039] 利用非均匀B样条曲线构造分段晒合线Li、L2,他们的控制顶点分别为:d严>(i = 0，1，2，-'，11)、山/^〇 = 0，1，2^-，111)，为保证分段晒合线1^1和1^2相交于原点，且在原点相 切，根据B样条曲线的端点性质，使控制顶点= = 0)，d2W、d产 Cb 唯同一条直线Io上。心LiUm^分别在齿轮1和齿轮2的齿顶圆上，限制了晒合线的晒合 范围。
[0040] 步骤二、满足B样条晒合线的共辆齿轮齿廓曲线与晒合线的对应关系建立及其晒 合性质分析
[OOW 如图3,齿轮1和齿轮2的节圆内切于点Po,设直角坐标系Si:{01，Xi，Yi}，S2:{02，X2， Y2}分别与齿轮1和齿轮2固连，坐标系Sf: {Of, Xf, Yf}为固定坐标系，且化为节点，则Of在齿轮 械合化巧线K设則，辦分别为齿轮1和齿轮2传动时的角位移，则齿轮1和齿轮2的传动
巧晒合齿轮的中屯、距Ei2 = R2-Ri，其中Ri、R2设分别为齿轮1和齿轮2的节圆 半径。B样条晒合线在直角坐标系Sf上的齐次坐标表达式为：
[0042]
(5)
[0043] 其中，Xf，yf为B样条晒合线上的点P在直角坐标系Sf上的坐标值。在齿轮晒合过程 中，接触点在晒合线上并沿着晒合线滑动，接触点在直角坐标系Si和S2上滑动的轨迹就是齿 轮1和齿轮2的齿廓曲线。晒合线上的共辆点在直角坐标系Si上的轨迹的向量表示为：
[0044] 其中，Xf，yf为晒合点P在直角坐标系Sf上的坐标值。在齿轮晒合过程中，接触点在
[00 少 (6) 晒合线上并沿着晒合线滑动，接触点在直角坐标系Si和S2上滑动的轨迹就是齿轮I和齿轮2 的齿廓曲线。晒合线上的共辆点在直角坐标系Si上的轨迹的向量表示为：
[004d
[0047 C7)
[00少
[0049 r, (8)
[(K)SC
[0051 (9)
[0052] 根据平面齿轮晒合理论，共辆齿形曲线在切触点处的公法线与回转中屯、线化化相 交并将该线分为两段化P和化P，两线段之比值为齿轮传动比。得到的齿轮1的晒合方程为：
[0053] (10)
[0化4]
[005引
[0056]得到齿轮2的角位移的表达式为：
[0化7]
(12)
[0058] 式（11)、（12)建立起了晒合线上的点与共辆齿廓曲线上接触点的对应关系，把式 (11)、（12)带入式(6)、（8)得到齿轮1和齿轮2的共辆齿廓曲线表达式。
[0059] 在得到内晒合齿轮共辆齿廓曲线之前，根据晒合线与共辆齿廓曲线的对应关系 (11)和（12)可W分析构造的内晒合齿轮共辆齿廓曲线的晒合性质，如相对法曲率、相对滑 动率。
[0060] 根据曲线的法曲率关系式得到齿轮1齿廓曲线在点P处的法曲率为：
[0061]
U3a)
[0062] 同样，齿轮2齿廓曲线在点P处的法曲率为：
[0063]
(13b)
[0064] 齿轮1和齿轮2共辆齿廓曲线在晒合点P处的相对法曲率为：
[00 化]
(14)
[0066] 根据齿轮的齿面方程(6)和(8)得到齿轮1的弧长元素为：
[0067] MSa')
[006引
[0069] (1沈）
[0070] 齿轮1和齿轮2在点P处接触，在化时间内滑动的弧长分别为dsi、ds2，则其相对滑动 率定义为：
[0071]
(化）
[0072] 把方程（15a)和（1化)带入方程(16)得到了齿轮1和齿轮2共辆齿廓曲线在晒合点P 处的相对滑动率。
[0073] 步骤=、构造满足=次非均匀B样条晒合线的内晒合齿轮共辆齿廓曲线
[0074] 当晒合线为S次非均匀B样条表示时，晒合线方程为分段S次多项式(4)，设Xf(U) =又1(11)，7:(11)=71(11)，11￡[化，化+1]，它满足晒合方程式（10)、（11)。
[0075] 由于=次B样条曲线为分段=次多项式，不同定义域区间对应不同的=次多项式 表达式，需对U进行分段积分。首先确定U G [ Ui，Ui +1 ]区间，然后分别对[Uk，Uk+1 ]、[ Uk+1， 化+2]、…、山-1，化]、山，U]进行分段积分，得到的最终分段积分为：
[0076]
(17)
[0077] 得到的奶为齿轮I齿廓曲线的齿形点从初始位置到参与晒合所转过的弧度，即齿 廓曲线齿形点与晒合点的对应关系，把式（17)带入式(6)得到齿轮1的齿廓曲线方程，由于 界2(?) = 口1 (M) 通过式(8)可W得到齿轮2的齿廓曲线方程。
[007引同样，把式（17)带入式（13a)、（13b)、（14)和（15a)、（1加）、（16)可W得到齿轮1和 齿轮2共辆齿廓曲线的相对法曲率和相对滑动率。
[0079] 步骤四、内晒合齿轮共辆齿廓的的优化设计
[0080] 在共辆齿轮齿廓的设计过程中，共辆齿廓曲线的光顺度及晒合特性取决于晒合线 的几何性质。利用非均匀B样条曲线构造齿轮晒合线，其形状由控制多边形决定，可W通过 对控制顶点位置的调整实现晒合线形状的修改。
[0081] 根据曲线法曲率表达式，曲线的曲率变化主要受P" (U)的影响，光顺曲线的曲率分 布需分段线性的，则P"(u)在节点区间上也应趋于线性变化。根据运个特性，建立代表B样条 曲线光顺性的能量函数为：
[0082]
(18)
[0083] 为约束待修正控制顶点(11<^。= 2,3，。，，11-1)的扰动幅度，可对控制顶点的扰动幅 度增加一个权電，律立的特制顶点扰动幅度目标函数为：
[0084]
(19)
[0085] 其中，W2i为控制顶点扰动幅度的权重。
[0086] 相对滑动率是共辆齿廓曲线的重要晒合特性之一，建立关于相对滑动率的目标函 数为：
[0087]
(-20)
[0088] 对于齿轮1齿根齿廓与齿轮2齿顶齿廓晒合，有ds广ds2<〇,对于齿轮1齿顶齿廓与齿 轮2齿根齿廓晒合，ds广dS2〉〇，因此，在对于晒合线^，I ds广dS2 I = ds广dS2，对于晒合线L2， dsi-ds21 =-(dsi-ds2)。把式（15a)、式（巧b)带入式（19)并约去?y/x; + j;得到：
[0089]
(21)
[0090] 共辆齿廓的相对法曲率可W由式(14)表示，则建立的相对法曲率目标函数为：
[0091]
C22)
[0092] 根据共辆齿廓曲线的法曲率式（13a)、（13b)，当齿轮I齿廓曲线法曲率表达式的分 子、分母与齿轮2齿廓曲线法曲率表达式的分子、分母之差最小时，共辆齿廓曲线的相对法 曲率会很小，约去公因子得到相对法曲率的目标函数为：
[0093]
(巧）
[0094] 根据式(17)、（18)、（20)和(22)，得到的整体目标函数为：
[0095] F=wiFi+F2+W3F'3+W4F'4 (24)
[0096] 其中，wi、W3、W4分别为光顺度、相对滑动率及相对法曲率在目标函数中所占的权 重。要巧目标巧数F最小，可令
[0097]
(25)
[0098] 运是2(n-2)元一次方程组，未知量为di,x、di,y(i = 2，???，n-l)共2(n-2)个，其矩阵 表达式为：
[0099] Md = C (26)
[0100] 其中，M为系数矩阵，坊Kn-I) X2向量，d的表达式为：
[0101] d=[dx dy]T dx=[d2x d3x ... d(n-l)x] dy=[d巧 d：3y ... d(n-l)y]
[0102] 求解W上方程组得到经过优化后的B样条晒合线控制顶点的坐标值。
[0103] 根据步骤一、步骤二和步骤=重新构造内晒合齿轮共辆齿廓。
[0104] 步骤五、内晒合齿轮共辆齿廓曲线的干设检查
[0105] 若共辆齿轮齿廓曲线上出现奇异点，在该点处将产生轮齿根切。根据齿轮晒合原 理，轮齿根切的判定条件为接触点在齿廓曲线上的滑动速度为零，即：
[0106]
[0107] (28)
[010引齿轮1轮齿根切的判定条件为：
[0109] Xf (U)X'f (u) + (-Ri+yf (U) )y'f (U) =0 (29a)
[0110] 齿轮2轮齿根切的判定条件为：
[0111] Xf (U)X'f (u) + (-R2+yf (U) )y'f (U) =0 (29b)
[0112] 把式(4)代入式(29a)、（29b)可W判定满足B样条晒合线的内晒合齿轮共辆齿廓是 否发生齿廓干设。因此，W方法构造的内晒合共辆齿廓是否干设是由晒合线的决定的，在构 造共辆齿廓曲线之前就可W进行判定。鉴于内晒合齿轮的复杂性及B样条曲线的自由性，判 断此方法构造的内晒合齿轮是否发生齿顶干设和径向干设，只有通过对构造共辆齿廓在每 一个转动位置进行判定才能实现。此方法可W获得共辆齿廓上的齿形点坐标，通过在几个 关键位置齿形点的转换位置计算及干设判断可W完成构造共辆齿廓齿顶干设及径向干设 的判定。
[0113] 若发生干设，根据干设出现的位置可W对B样条晒合线上对应控制点进行调整，重 新进行内晒合齿轮共辆齿廓曲线构造并进行干设检查，直到不发生干设为止。
[0114] 步骤六、构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线
[0115] 确定内外齿轮轮齿齿根齿廓曲线在端点To处的切向t，构造与齿根圆和齿根齿廓 曲线在端点相切的圆弧过渡曲线ToTf。，如图4所示。
[0116] 下面具体举例说明：
[0117] W齿数Z1 = 35，z2 = 50，m = 4的内晒合齿轮为例，简要说明本方法的实施方式。其 他参数为11日1 =4mm,hfl = Smm,ha2 = 4mm,hf2 = 5mm。
[0118] 步骤一、利用非均匀B样条构造内晒合齿轮晒合线。
[0119] 设计的晒合线为外齿轮1右侧齿廓与内齿轮2左侧齿廓的晒合线，分为^、L2两段， 如表 1 所示，其控制顶点为di(Li)(i = 〇, 1,2,…，n)、dij(L2)( j = 〇, 1,2,…，m)，满足do(Li) = do 似, = (0,0)，(12(山、山(山、(1日(山、山似)、(12似 )在同一条直线1日上。山(山、(1。叫分别在齿轮1和齿 轮2的齿顶圆上。
[0120] 把控制顶点的坐标带入式(4)，则得到了晒合线方程的=次非均匀B样条曲线表 /J、- O
[0121 ]表1非均匀B样条晒合线控制顶点
[0122]
[0123]
[0124] 步骤二、满足B样条晒合线的共辆齿轮齿廓曲线与晒合线的对应关系建立及其晒 合性质分析
[0125] 根据共辆原理，得到共辆方程表达式式（11)，对共辆方程式(11)积分，得到晒合线 上的点与共辆齿廓曲线上接触点的对应关系式(11)及式(12)。
[0126] 根据齿轮1和齿轮2共辆齿廓曲线在晒合点P处的相对法曲率表达式（14)及相对滑 动率表达式（16 )，得到的共辆齿廓曲线的相对法曲率曲线和相对滑动率曲线如图6、图7所 /J、- O
[0127] 步骤=、满足设计晒合线的共辆齿轮齿廓曲线的构造
[0128] 对于=次非均匀B样条曲线，其方程表达式为分段=次多项式，需对U进行分段积 分。首先确定UG [Ui，Ui+l]区间，然后分别对[Uk，Uk+l]、[Uk+1，Uk+2]、…、[Ui-l，Ui]、[Ui，u]进行 分段积分，得到的最终分段积分为：
[0129]
(30)
[0130] 得到的口 1为齿轮1齿廓曲线的齿形点从初始位置到参与晒合所转过的弧度，即齿 廓曲线齿形点与晒合点的对应关系，把式(30)带入式(6)得到齿轮1的齿廓曲线方程，由于 的(《)= 口1 (W) /刪2,通过式(8)可W得到齿轮2的齿廓曲线方程。
[0131] W上得到的共辆齿廓曲线为中屯、轮1右侧齿廓与内齿圈2左侧齿廓，如图5(a)所 /J、- O
[0132] 步骤四、内晒合齿轮共辆齿廓的优化设计
[0133] 在内晒合齿轮共辆齿廓设计过程中，共辆齿廓曲线的光顺度及晒合特性取决于晒 合线的几何性质。非均匀B样条晒合线的形状由控制顶点决定，可W通过对控制顶点位置的 调整实现内晒合齿轮共辆齿廓的优化设计。
[0134] WB样条晒合线光顺性、控制顶点位置扰动、共辆齿廓相对法曲率及相对滑动率为 优化目标建立目标函数式(23)，通过求解目标函数得到了优化后的B样条晒合线控制顶点 的位置坐标为di' (Li)(i = 〇,l ，n)、dj' (L2)( j = 〇,l ,2,…，m)，如表2所示。
[01 对为了满足do'(山= do'化2) = (0,0)，d2'山Ui'山Uo'山Ui' (L2)、cb'化2)在同一条直 线Io上。山/ fLlUm/ (L2)分别在齿轮1和齿轮2的齿顶圆上，在设置控制顶点扰动时，使运几个 点不产生扰动，即坐标值不变。
[0136] 根据步骤一、步骤二和步骤=重新构造内晒合齿轮共辆齿廓及求解其相对法曲率 和相对滑动率。得到了优化后的B样条晒合线及构造的共辆齿廓曲线如图5(b)所示，其相对 法曲率和相对滑动率如图6、图7所示。
[0137] 表2优化后非均匀B样条晒合线控制顶点
[013 引
[0139] 步骤五、设计共辆齿廓曲线的干设检查
[0140] 对于给定的=次非均匀B样条晒合线分段多项式方程表达式(4)，带入中屯、轮1工 作齿廓干设的判定条件式(29a)和内齿圈2工作齿廓干设的判定条件式(29b)，发现实例中 构造的B样条晒合线满足：
[0141]
(31)
[0142] 则根据该晒合线构造的共辆齿廓曲线不会产生工作齿廓干设。通过对构造的共辆 齿廓转动一定角度检查发现，此方法构造的共辆齿廓不发生齿顶干设和径向干设。
[0143] 步骤六、齿轮工作齿廓到齿根圆的过渡曲线构造
[0144] 中屯、齿根齿廓曲线的端点为Tio(0.7102 ,-66.4380 )，在端点Tio的切线方向t (0.1303,0.9915)，中屯、齿轮的齿根圆中屯、〇1(0,0)，半径m = 65mm，通过几何求解，与中屯、 轮齿根圆外切于点Tfi的一段圆弧TioTfi的中屯、〇1〇(2.3987，-66.6599)，半径rio = 1.703mm， 则中屯、轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：
[0145]
[0146] 内齿轮齿根齿廓曲线的端点为T20(-1.47 1 8,-103.8 1 82)，在端点T20的切线方向t (-0.4384，-0.8988)，外齿轮的齿根圆中屯、〇2(0，0)，半径打2 = 105mm，通过几何求解，与内齿 圈齿根圆外切于点1:2的一段圆弧12〇1:2的中屯、〇2〇(-3.2803，-102.9353)，半径^〇二 2.0125mm，得到内齿圈齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：
[01471
(33)
[0148]得到的中屯、轮和内齿圈轮齿如图8和图9所示，图8为中屯、轮和内齿圈单齿形状，分 别由齿顶圆、齿廓曲线、过渡圆弧曲线及齿根圆组成，如图9所示中屯、轮和内齿圈整体齿形 及晒合线。
[0149] 本发明未详细阐述部分属于本领域的公知技术。
[0150] W上所述，仅为本发明部分【具体实施方式】，但本发明的?；し段Р⒉痪窒抻诖?，任 何熟悉本领域的人员在本发明掲露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在 本发明的?；し段е?。
【主权项】
1. 一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，其特征在于：该方法利用B样条 曲线构造内啮合齿轮啮合线，根据齿轮啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共辄齿廓 曲线之间对应关系式;构造满足B样条啮合线的共辄齿廓曲线;建立以曲线光顺度、控制顶 点扰动及共辄齿廓曲线相对法曲率、相对滑动率最优的目标函数，求解得到优化后的B样条 啮合线控制顶点坐标，重新构造内啮合齿轮共辄齿廓曲线;对设计的共辄齿廓曲线进行干 涉检查，根据检查结果调整控制顶点；设计内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线，完成内 外齿轮齿形的总体设计;鉴于B样条曲线的自由性和灵活性，通过B样条既可构造渐开线齿 形的直线啮合线和摆线齿形的圆弧啮合线，也可构造其他齿形的复杂啮合线，从而使该方 法对内啮合共辄齿廓曲线的构造具有很大的自由度。2. 根据权利要求1所述的一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法，其特征在 于:该方法具体步骤如下： 步骤一、设计内啮合齿轮啮合线，根据B样条曲线的生成原理，以给定的啮合线上的点 为控制顶点，构造以三次非均匀B样条表示的内啮合齿轮啮合线； 步骤二、根据共辄原理，建立内啮合齿轮传动的共辄方程，该方程反应了啮合线上的点 与内啮合齿轮共辄齿廓曲线上共辄点之间的对应关系；在求解共辄齿廓曲线之前，根据齿 轮啮合理论，分析满足设计B样条啮合线的共辄齿廓曲线的啮合性质，包括相对法曲率和相 对滑动率； 步骤三、根据啮合线与共辄齿廓曲线的对应关系式，带入B样条啮合线的分段多项式， 通过坐标变换和计算，得到满足设计B样条啮合线的内啮合齿轮共辄齿廓曲线上的齿形点 坐标； 步骤四、以曲线光顺性、B样条曲线控制顶点扰动幅度、构造共辄齿廓曲线相对法曲率、 相对滑动率最优为目标建立优化函数，通过计算得到新的控制顶点坐标，重新进行内啮合 齿轮共辄齿廓曲线设计； 步骤五、利用微分几何学检查内啮合齿轮共辄齿廓曲线上是否存在奇异点，进行工作 齿廓根切检查;检查内啮合齿廓共辄齿廓啮合过程是否发生齿顶干涉及径向干涉，确定干 涉点发生的位置，通过调整对应的B样条曲线控制顶点消除内啮合齿轮干涉情况； 步骤六、构造内外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧曲线，完成内啮合共辄齿轮整体 设计。
【文档编号】F16H55/17GK106015516SQ201610346340
【公开日】2016年10月12日
【申请日】2016年5月24日
【发明人】王延忠, 李圆, 赵鹏坤, 任少英
【申请人】北京航空航天大学